Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Mời chúng ta cùng tham khảo ngôn từ bài giảng Bài 1: Hệ pmùi hương trình tuyến tính dưới đây để khám phá về dạng màn trình diễn ma trận, giải hệ phương trình con đường tính bằng phương thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ pmùi hương trình tuyến tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương thơm trình tuyến tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương thơm trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương trình bên trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường đúng theo tổng quát, ta xét hệ m phương thơm trình tuyến đường tính nẩn nlỗi sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). khi kia, hệ pmùi hương trình bên trên hoàn toàn có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) call là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) gọi là ma trận thông số mở rộng của hệ phương thơm trình.X Call là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương thơm trình tuyến tính bằng phương thức Gauss.


Một phương pháp thường dùng nhằm giải hệ pmùi hương trình con đường tính là phương thức Gauss, đưa ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng lan can tốt bậc thang thu gọn, nhờ các phxay biến đổi sơ cấp cho trên dòng.

Xem thêm: Thước Lỗ Ban Là Gì ? Những Điều Cần Biết Về Thước Lỗ Ban Chi Tiết Về Cách Sử Dụng Và Áp Dụng Phong Thủy

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta bao gồm hệ phương thơm trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - altrộn ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Nhỏng cụ, hệ phương trình bao gồm vô vàn nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - alpha ;5 - altrộn ;altrộn );altrộn in R)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận thông số mở rộng của (I) là:

Ta gồm hệ pmùi hương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta gồm hệ phương thơm trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương thơm trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương thơm trình tuyến tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ có nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ có vô vàn nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k khi kia, hệ pmùi hương trình có k ẩn thiết yếu ứng với k thành phần đứng vị trí số 1 và n - k ẩn thoải mái, được chuyển sang vế cần.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ bao gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ gồm rất nhiều nghiệm cùng với 2 ẩn bao gồm ứng cùng với 2 thành phần dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn thoải mái x3 ta gồm hệ pmùi hương trình gồm vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:(X = left( 1 - fracaltrộn 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ pmùi hương trình tuyến đường tính AX = B được Call là hệ Cramer giả dụ A là ma trận vuông không suy đổi thay , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Lúc đó, ta có nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A hơi bự thì việc tìm(A^-1) tương đổi tinh vi. mà còn, có Lúc ta bỏ ra bắt buộc kiếm tìm một vài ẩn (x_j) ráng vì chưng tổng thể các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ kia, bạn ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào công thức (X = A^-1B) nlỗi sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận có được tự A bằng cách cụ cột j vị vế đề xuất (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương thơm trình đường tính thuần độc nhất vô nhị.


Hệ phương trình tuyến đường tính AX = 0 call là hệ thuần tuyệt nhất. Ngoài các đặc điểm tầm thường của hệ AX = B, hệ thuần độc nhất vô nhị AX = 0 còn tồn tại những đặc điểm riêng rẽ nlỗi sau :

Hệ luôn luôn gồm nghiệm bình thường X = 0 (không tồn tại ngôi trường phù hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy phát triển thành thì hệ bao gồm nghiệm độc nhất (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm tầm thường.Nếu hệ bao gồm rất nhiều nghiệm thì tập nghiệm là một trong những không gian bé của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một các đại lý của không khí nghiệm được Hotline là 1 hệ nghiệm cơ bạn dạng.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, đề xuất hệ tất cả nghiệm nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là một trong.

Xem thêm: Khái Niệm Cơ Bản Về Single Page Application Là Gì, Single Page Application Concept

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng thể là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.


Chuyên mục: Blogs